レポート1(マルコフ連鎖としてのランダムウォーク)(p801-report03)

情報

• 出題:2021-06-14
• 実行/提出期限:2021-07-10 20:00:00
• 提出
  • report03.pdf 

学習目標

• 日本語で書かれたランダムウォークの記述を数学の言葉で書き直し, それをもとにプログラムを書いて結果を解析できる.

作成・提出方法

以下の問への答を, 日本語の文章と式と図とグラフとソースコードを含む, A4縦サイズx複数ページの1個のPDFファイルとして作成し提出する. 作成方法は WordにまとめてPDF保存, や, 手書き撮影など自由. 完結した日本語の文章で書こう. 問番号を付けよう.

問

Moodleのレポートのところの問題取得場所に書かれた, 個人別のランダムウォークの移動ルールを考える.

1. ルールを, ウォーカーの時刻\(t\)における座標(確率変数) \(X(t)\)の漸化式, 初期条件として書こう(このとき境界条件は無視しておいてよい). 1歩分の確率変数\(R(t)\)の確率も書こう.(Hint:課題markovrwexpect01, w01.pdf)
2. ルールを, ウォーカーの座標の確率分布\(p(x,t)=P(X(t)=x)\)の漸化式と初期条件として書こう(境界条件は無視しておいてよい). (Hint:課題markovrwexpect01, w04.pdf)
3. ルールから, 境界条件も考慮して, マルコフ連鎖の推移図を描こう. (Hint: w05.pdf,w07.pdf)
4. ルールから, 境界条件も考慮して, マルコフ連鎖の転置推移確率行列\(M\)を書こう. (Hint:課題markovrwexpect01, w05.pdf,w07.pdf)
5. (*.c が読めるように貼り付け) 上の転置推移確率行列を使って, 課題markov01, 課題markovexpect04 相当のプログラムを作ろう(仕様の詳細は定めないが, 下の分析に使えるもの, 疎行列でなく,m×mの2次元配列で書くこと推奨).
6. (グラフ貼り付け) 上のプログラムとExcelを使って, \(p(x,t)\)の時間変化のグラフ(横軸t, 縦軸p, xごとに別々の折れ線, 課題markov01相当)を, \(0\leq t \leq 40\)の範囲で描こう. もし直観的な説明があれば述べよう.
7. 上の結果で, 課題markov01で話のでていた, 横軸\(t\), 縦軸\( \log_e |\vec{p}(t)-\vec{p}(\infty)|\) のグラフを描き,傾きを目視で求めよう. markov01 の解答の Excel ワークシートが参考になるはず. \(M\)のすべての固有値を, Wolfram|Alpha か Mathematica Online を使って数値的に求めよう. 必要ならw07.pdf p.4 L06-Q1解答と動画あたりを参照して, この2つを比べた結果を述べよう.
8. (グラフ貼り付け)上のプログラムとExcelを使って, 母比率\(P(X(t)\leq2)\), 母期待値\(\mathrm{E}[X(t)^3]\)の時間変化のグラフ(横軸t, 縦軸p, 課題markovexpect04/相当)を, \(0\leq t \leq 40\)の範囲で描こう.
9. (あれば)レポート作成にあたって, 相談した人(TA,樋口以外)や参考にした本やWebページ(授業資料以外)を書こう(あまり相談や参考にするなという意味ではない). 「プログラムは誰々くんと共同で作成」とか「推移図の作成は誰々くんと相談」みたいな感じで.